Topological Degree

定义 Definition

拓扑度（topological degree）是拓扑学与非线性分析中的一个不变量，用来“计数”一个连续映射把目标空间某点的原像覆盖了多少次（带有方向/符号的计数）。它常用于证明方程是否存在解、以及研究映射在同伦变形下的不变性质。常见情形包括从一个有向流形到同维流形的映射、或在欧氏空间中对向量场/方程的“度理论”。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌtɑːpəˈlɑːdʒɪkəl dɪˈɡriː/

例句 Examples

The topological degree helps us prove that a solution exists.
拓扑度能帮助我们证明解的存在。

For a continuous map between oriented manifolds, the topological degree is invariant under homotopy and can be computed by counting preimages with signs.
对于有向流形之间的连续映射，拓扑度在同伦下保持不变，并可通过对原像进行带符号计数来计算。

词源 Etymology

topological来自 topology（拓扑学，源于希腊语 topos “地点” + -logia “研究”），强调“在连续变形下不变的性质”；degree原意为“等级/程度”，在数学中引申为“次数、度数”，用于表示一种“计数的量”。合起来，topological degree 指在拓扑意义下定义的“度/次数”这一不变量。

相关词 Related Words

• Brouwer Degree
• Degree Theory
• Winding Number
• Homotopy
• Fixed Point Theorem
• Leray–Schauder Degree
• Index
• Orientation
• Manifold
• Continuous Map

文学与经典著作 Literary Works

• Algebraic Topology — Allen Hatcher（讨论映射的“degree/度”，是拓扑度思想的重要来源之一）
• Differential Topology — Victor Guillemin & Alan Pollack（在流形与映射的语境中使用“degree”概念）
• Topology from the Differentiable Viewpoint — John Milnor（以可微视角讲解映射的度等核心概念）
• Topological Degree Methods in Nonlinear Analysis — Martin Schechter（系统使用“topological degree/度理论”处理非线性问题）
• Nonlinear Functional Analysis and its Applications — Eberhard Zeidler（在非线性泛函分析中广泛运用度理论与不动点方法）